МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ ФГБОУ «БУРЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Институт математики, физики и компьютерных наук

Кафедра системного анализа и компьютерного моделирования

Отчёт по учебной практике

По направлению подготовки магистратуры

01.04.02 Прикладная математика и информатика

Разработка математической модели распределения светового поля в зданиях на основе интегрального уравнения 2-го рода

Работу выполнил: студент группы 01231м

Семенов В.А.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук

Абидуев Пурбо Ламажапович

Улан-Удэ

2024

## ОГЛАВЛЕНИЕ

[**Введение** **3**](#_Toc154334369)

[**1 Теоретическая глава** **4**](#_Toc154334370)

[**2 Практическая глава** **10**](#_Toc154334371)

[**Заключение** **14**](#_Toc154334372)

[**Список литературы** **15**](#_Toc154334373)

## ВВЕДЕНИЕ

Актуальность данной работы обусловлена тем, что в современном мире вопросы энергоэффективности и комфортного освещения в зданиях становятся все более актуальными. Оптимальное использование естественного света внутри помещений не только способствует экономии энергии, но также оказывает положительное влияние на здоровье и благополучие людей. Разработка математической модели распределения светового поля в зданиях на основе интегрального уравнения 2-го рода позволит оптимизировать использование естественного света в зданиях, что приведет к снижению энергопотребления на искусственное освещение и улучшению условий проживания и работы людей. Такая модель может быть полезна для архитекторов, дизайнеров интерьеров, инженеров-энергетиков и других специалистов, занимающихся проектированием зданий.

Целью работы является разработка математической модели распределения светового поля в зданиях на основе интегрального уравнения 2-го рода.

Задачи работы:

1. Изучение теории и разработка математической модели.
2. Написание программы.

ГЛАВА 1

## Теоретическая глава

Освещенность – это величина, измеряемая в Люксах (лк), которая представляет собой отношение светового потока (лм) к площади (м):  
, где

P – является удельным значением мощности на освещение Вт/м2.

S – общая площадь помещения/области.

N – подразумевает под собой количество элементов освещения.

В РФ существуют строительные нормы и правила (СНиП; СанПин; ГОСТ), регламентирующие минимальный уровень освещённости в помещении.

Количество необходимого света определяется по роду выполняемых работ и функционального назначения помещения. В светотехническом проектировании комбинируется общее и местное освещение, рассеянное и акцентированное, также учитывается естественный свет (см. рис. 1):

![]()

Рисунок 1. Нормативы освещённости в различных типах помещений

Цветовая температура измеряется в градусах по шкале Кельвина (K).

Температура света влияет на психологическое состояние человека, создаёт определённую атмосферу в помещении, активизирует работу организма или, напротив, расслабляет.

Все источники света по цветности разделены на три группы (см. рис. 2):

![]()

Рисунок 2. Группы цветности

В последние годы программы автоматизированного проектирования осветительных установок (ОУ) переживают поистине революционные изменения, связанные с проникновением алгоритмов и методов компьютерной графики, позволяя воссоздавать на экране дисплея ЭВМ изображение освещаемых объектов с высокой точностью. Это позволяет оценивать нормы освещенности с максимальным учётом ГОСТ.

Задача заключается в разработке математической модели и метода предсказания и оптимизации распределения светового поля внутри зданий с использованием интегрального уравнения 2-го рода. Целью исследования является создание эффективного инструмента для проектирования освещения, который позволит учитывать геометрические особенности помещений, свойства материалов и источники света.

Исходные данные для моделирования включают геометрию помещения и других элементов в нём, а также параметры источников света. Световое поле внутри здания описывается интегральным уравнением 2-го рода, которое учитывает отражение, преломление и поглощение света на поверхностях помещения.

Для решения поставленной задачи необходимо разработать численный метод, который позволит рассчитать распределение освещенности внутри здания в зависимости от параметров источников света, геометрии помещения и свойств материалов. Данный метод должен быть вычислительно эффективным и точным, чтобы обеспечить оптимальное освещение помещений с учетом требований ГОСТ к комфорту и энергоэффективности.

В литературе по компьютерной графике теория точного моделирования яркости поверхностей виртуальных объектов наблюдения с учетом всех возможных оптических процессов получила название глобального освещения (global illumination). Если пренебречь явлениями дифракции и интерференции, которые проявляются в достаточно тонких и специальных экспериментальных ситуациях, то для излучения применимо лучевое приближение: свет состоит из достаточно тонких лучей, по каждому из которых как по трубке протекает лучистая энергия, с плотностью мощности L – яркость луча.

Изображение в идеальной оптической системе (без искажений, называемых в оптике аберрациями) является центральной или перспективной проекцией, а облученность каждой точки в изображении определяется выражением

где **r**_<sub>i</sub>_\=(_x<sub>i</sub>_, _y<sub>i</sub>_) – радиус-вектор точки в плоскости изображения с координатами _x<sub>i</sub>_ и _y<sub>i</sub>_, _L_(**r**_<sub>o</sub>_) – яркость сопряженной (соответствующей по центральной проек- ции) точки **r**_<sub>o</sub>_ в пространстве объектов, – относительное отверстие объектива, D – диаметр выходного зрачка, _f_ – его фокусное расстояние.

При центральной проекции точки **r**_<sub>i</sub>_ и **r**_<sub>o</sub>_ лежат на одной прямой, проходящей через центр оптической системы _C_.

Следовательно, для создания грамотной симуляции объекта надо определить угловое распределение яркости в центре объектива или, что аналогично, пространственное распределение яркости по поверхностям объекта.

Поэтому в основе алгоритмов компьютерной графики лежит расчет яркости светового поля, или иначе, речь идет о визуализации распределения яркости в пространстве. Стоит отметить, что во всех моделях компьютерной графики всегда присутствуют два пространства: двумерное пространство изображения на экране и трехмерное пространство объектов визуализации

Соответственно математическая модель визуализации объектов представляет собой не что иное, как фотометрический расчет светового поля при заданном расположении объектов, источников света, светотехнических характеристиках их поверхностей.

Рассмотрим полную яркость поверхности с учетом ее отражения, пропускания и излучения.

где

Интегральное уравнение учитывает все фотометрические явления на границе объектов трёхмерной (3М) сцены: диффузно-зеркальное отражение, пропускание и собственное излучение. Оно включает все возможные отражения и пропускания света в сцене, а потому получаемое решение физически адекватно распределению яркости реальной сцене наблюдения.

Первые программы визуализации, использовавшие локальные модели освещения, в рамках которых предполагается, что затенение одной поверхности не зависит от затенений другой поверхности, трактовали задачи видимости поверхности и затенения независимо. Локальные модели освещения обычно пренебрегают отраженным светом и принимают, что свет приходит только из конечного числа точечных источников освещения. Расчеты прямого освещения просты, но при этом объект, не освещенный непосредственно, выводится черным, а тени, если моделируются вообще, обычно интенсивно обрамляются, отчего поверхности предметов выглядят гладкими и пластмассовыми, а вся сцена подобна сценам наружного освещения.

Глобальные модели освещения основываются на том, что видимость и затенения связаны между собой: яркость точки поверхности определяется распределением яркости по всем остальным поверхностям, видимым из этой точки, что определяется интегральным характером уравнения (1.1).  
Такими методами синтеза изображения можно моделировать полутени, шероховатость и свойства отражения реальных материалов, освещение многократно отраженным светом и связанные с ним цветовые эффекты.

В случае диффузного отражения и пропускания уравнение (1.1) можно переписать в виде:

Достоинством уравнения (1.2) является то, что неизвестная функция M(r) зависит только от координат поверхности.

Возможности уравнений (1.1) и (1.2) выходят далеко за рамки решения задач визуализации 3М сцен. Они являются средством описания светового поля в 3М сцене в среде без рассеяния и поглощения света. Поэтому представляется, что лучше эти уравнения называть уравнениями глобального освещения, а расчет светового поля в 3М сцене на основе этих уравнений – методами глобального освещения.

ГЛАВА 2

## Практическая глава

Уравнение глобального освещения имеет решение только для идеализированных ситуаций, не имеющих ничего общего с практическими задачами. Решение же практических задач возможно только численными методами. В общем случае произвольной 3М сцены для построения численных алгоритмов решения уравнения глобального освещения используются два основных подхода:

1) замена интеграла в уравнениях (1.2) или (1.1) конечной суммой с использованием подходящей квадратурной формулы, что приводит интегральное уравнение к системе линейных алгебраических уравнений

2) разложение решения в так называемый ряд Неймана.

В виду большей простоты программной реализации был выбран первый подход.

Наиболее общим приемом при первом подходе является так называемый метод конечных элементов Галеркина. В этом случае приближенное решение уравнения (1.2) представляется в виде конечной суммы по набору из _N_ ортонормированных функций:

где коэффициенты разложения:

Условие ортонормированности набора функций имеет в этом случае вид:

Используя условные обозначения, при

То уравнение (2.1) приводится к системе линейных алгебраических уравнений.  
В матричной форме это уравнение имеет вид:

где стрелка над символом обозначает вектор-столбец соответствующих элементов, двойная стрелка – матрицу.

Наибольшее значение в компьютерной графике приобрел специальный случай метода конечных элементов (2.4), основанный на приближенной замене всей поверхности 3М сцены наблюдения сеткой плоских многоугольников называемых заплата (patch) или грань (face). При этом в качестве базисных функций выбираются

где - площадь грани.

При этом выражения (2.1 – 2.2) переходят в следующий вид:

или

В задачах визуализации 3М сцен количество граней может превышать несколько десятков тысяч, что делает обращение матрицы при решении системы уравнений (2.5) математически некорректной задачей. Однако поскольку , то систему уравнений следует решать простейшим методом итераций Якоби.

Каждая m-ая итерация, представляет собой светимость (излучательность) поверхности, связанная с m-ой кратностью отражений от поверхностей сцены. Итерационную процедуру можно существенно улучшить, если на каждом шаге итераций подставлять не предыдущее значение элементов искомой излучательности, а текущие – метод итераций Гаусса-Зейделя, имеющий существенно более быструю сходимость

Программа для вычисления написана на языке C# и представляет собой симуляцию помещения с возможностью размещения в нём осветительных приборов, а также прямоугольников с настраиваемыми параметрами.

| **Объект** | **Описание** | **Свойства** |
| --- | --- | --- |
| **_Room_** | Помещение | длина L м, ширина W м, высота H м |
| **_Lamp_** | Светильник | координаты 𝑥𝐿 , 𝑦𝐿, 𝑧𝐿, мощность P (Вт), цветовая температура T (К) |
| **_Surface_** | Поверхность, параллельная полу, для которой<br><br>вычисляется освещенность | высота над полом h (м), матрица элементарных квадратов, сторона каждого квадрата |
| **_Square_** | Элементарный<br><br>квадрат | координаты центра 𝑥, 𝑦 на плоскости **_Surface_,**<br><br>рассчитанная освещенность |
| **_ReflectiveObject_** | Отражающий предмет | location – кооординаты top/left точки, size – длина<br><br>и ширина, высота над полом, коэффициент отражения |
| **_ReflectiveSurface_** | Набор отражающих поверхностей<br><br>предметов | список отражающих элементарных квадратов, сторона каждого квадрата |
| **_Reflective Square_** | Отражающий<br><br>элементарный квадрат | координаты центра 𝑥, 𝑦 на плоскости **_Reflective Surface_,** высота над полом, коэффициент<br><br>отражения |

Основные идеи и моделирование

Расчетная плоскость (уровень) характеризуется высотой над полом и делится на элементарные квадраты с заданной стороной.

Расчетные методы реализованы в классе IlluminationCalculator.

Для расчета освещенности уровня от ламп используются методы

IlluminationCalculator. CalculateIlluminationFromLamps() и

IlluminationCalculator. CalculateIlluminationAtPoint(double x, double y, double height)

Для удобства моделирования каждый отражающий предмет разбиваем на элементарные квадраты с расположением и размерами, соответствующими сетке расчётной плоскости. Каждый такой квадрат будет иметь координаты центра, высоту над полом и коэффициент отражения. Для их хранения создаем контейнер ReflectiveSurface.

Рассчитываем освещенность каждого отражающего элементарного квадрата от ламп. Далее считаем отражающий элементарный квадрат вторичным источником света, лучи от которого падают перпендикулярно вверх на расчётную плоскость. Моделируем уменьшение освещенности с расстоянием с помощью экспоненты. Получаем освещенность при первичном отражении соответствующего элементарного квадрата расчётной плоскости.

Для расчета освещенности уровня от первичного отражения используются методы

IlluminationCalculator. CalculateReflectedllumination() и

IlluminationCalculator. CalculateIlluminationAtPoint(double x, double y, double height)

_Определение_: вторичным отражением называем освещение на заданном уровне GivenSurface, которое получается, когда свет от ламп отражается от ReflectiveSurface данной Room, проходит через GivenSurface, достигает поверхности потолка Ceiling, отражается от потолка, проходит через GivenSurface опять на ReflectiveSurface и уже оттуда вторично падает на GivenSurface.Расчётная плоскость (уровень) находится между лампами вверху и предметами внизу. Поэтому можем её рассматривать как вторичный источник излучения, параллельный полу, потолку и поверхностям предметов, находящихся в помещении.

_Алгоритм:_

Шаг 1. Находим с помощью CalculateReflectedIllumination() первичное отражение на GivenSurface

Шаг 2. Находим с помощью статического метода CalculateParallelIllumination освещенность поверхности потолка Ceiling от GivenSurface

Шаг 3. Умножаем освещенности элементарных квадратов поверхности потолка Ceiling на коэффициент отражения потолка с помощью статического метода CalculateDimming.

Шаг 4. Находим с помощью CalculateParallelIllumination() освещенность GivenSurface от Ceiling

Шаг 5. Находим с помошью CalculatePingPong() освещенность GivenSurface от ReflectiveSurface при прохождении лучей туда и обратно

Найденная освещенность GivenSurface является результатом вторичного отражения. Данный алгоритм реализуется в методе

IlluminationCalculator. CalculateSecondaryReflectedllumination()

Структура приложения

- - - Класс Room содержит параметры комнаты, такие как длина, ширина, высота и коэффициенты отражения, и имеет метод AddReflectiveObject для добавления отражающих объектов.
      - Класс ReflectiveObject представляет объект с координатами, размерами и коэффициентом отражения.
      - Классы Square и ReflectiveSquare представляют элементарные квадраты с координатами и освещенностью или высотой и коэффициентом отражения соответственно.
      - Класс Surface представляет поверхность с матрицей элементарных квадратов.
      - Класс ReflectiveSurface представляет отражающую поверхность с матрицей отражающих квадратов.
      - Класс Lamp представляет лампу с координатами, мощностью и цветовой температурой.
      - Класс IlluminationCalculator выполняет вычисления освещенности и отражений.
      - Класс MainForm представляет главную форму приложения с элементами управления и методами для работы с данными.
      - Класс EfficiencyCalculator содержит статический метод CalculateEfficiency для расчета эффективности лампы на основе цветовой температуры.

![]()

Рисунок 3. Диаграмма классов

Данные – действительные числа, разделитель – запятая. Кроме цветовой температуры – это целое число.

![]()

Рисунок 4. Главная форма для ввода и обработки данных

Для сохранения и загрузки данных используются соответствующие опции меню (см. рис. 5):

![]()

Рисунок 5. Подменю компонента «Файл»

Однако в реализации данные обрабатываются и считываются в потоках StreamWriter и StreamReader, т.е. файл является текстовым и может быть прочитан в любом текстовом редакторе (см.рис.5).

![]()![]()

Рисунок 6. Отображение данных в файле и на форме

Используется объект MenuStrip.

Три компонента: File, Model и Diagrams (надписи "Файл", "Моделирование" и "Диаграммы")

Подменю для File

\- Save (надпись "Сохранить"; сохраняет внесенные пользователем данные в текстовый файл, SaveFileDialog)

\- Load (надпись "Загрузить"; загружает данные из текстового файла, OpenFileDialog)

\- ClearAll (надпись "Очистить всё"; выполняет метод, аналогичный текущему ClearButton_Click)

\- Quit (надпись "Выйти"; закрывает приложение)

Подменю для Model

\- Start (надпись "Начать моделирование"; считывает данные с контролов, отрабатывает ложный ввод, рассчитывает ВСЕ виды освещения на заданном уровне: 1) от ламп, 2) первично отраженное от предметов, 3) вторично отраженное от предметов, 4) их сумму. Создает и заполняет 4 объекта типа IlluminationCalculator)

Подменю для Diagram

\- IlumLamps (надпись "Освещение от ламп"; открывает дочернюю форму и передает IlluminationCalculator с освещенностью от ламп)

\- IlumPrimaryReflection (надпись "Первичное отражение"; открывает дочернюю форму и передает IlluminationCalculator с первичным отражением)

IlumSecondaryReflection (надпись "Вторичное отражение"; открывает дочернюю форму и передает IlluminationCalculator со вторичным отражением)

\- IllumSum (надпись "Суммарное освещение"; открывает дочернюю форму и передает IlluminationCalculator с суммой всех трех освещенностей)  
<br/>![]()![]()  
![]() ![]()

Рисунок 7. Диаграммы вывода программы

## ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе данной курсовой работы была разработана математическая модель распределения светового поля в зданиях на основе интегрального уравнения 2-го рода. Исследование данной темы позволило углубленно изучить принципы моделирования освещения в зданиях, а также применение полученных знаний в оптимизации использования искусственного освещения. Были изучены теоретические основы интегральных уравнений 2-го рода, методы их решения и особенности применения в задачах освещения зданий. Разработанная модель может быть полезна для оптимизации проектов освещения зданий и повышения энергоэффективности.

##

## СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Алгоритмы и численные методы решения задач вычислительной и прикладной математики: сборник научных трудов / редколлегия: Т. А. Азларов (отв. редактор) — Ташкент : Ташкентский государственный университет, 1988. — 92 с.
2. Исследования по прикладной математике и информатике: межвузовский сборник / Молдавский государственный университет (МолдГУ); под редакцией Б. А. Щербакова. — Кишинев.: Штиинца, 1990. — 203 с. — ISBN 5-376-00604-2.
3. А. Ю. Коврижных. Дифференциальные и разностные уравнения / Екатеринбург : Издательство Уральского университета 2014. — 148 с.
4. Макаров, С. Е. Обыкновенные дифференциальные уравнения / С. Е. Макаров, И. Д. Макарова ; Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского. – Омск : Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского (ОмГУ), 2022. – 120 с. – ISBN 978-5-7779-2612-8.
5. Гданьский, Н.И. Прикладная дискретная математика. Логика. Графы. Автоматы. Алгоритмы. Кодирование / Н.И. Гданьский. - Москва.: Вузовская книга, 2011. - 508 c.
6. URL: <https://elar.urfu.ru/bitstream/10995/40708/1/978-5-7996-1341-9_2014.pdf>
7. URL: <https://eqworld.ipmnet.ru/ru/solutions/fe/fe-toc1.htm>